Ciao
purtroppo non uso prestashop e non posso aiutarti. Serve un tecnico di prestashop.

Per gli H1 non è altro che il titolo della pagina che va impostato.

Ciao suppongo che nel trasferimento al nuovo sito siano state lasciate invariate la struttura delle url, dei tag e delle keyword. Che inoltre sia stato il tutto monitorato con Search Console e Analitycs.
E che soprattutto siano stati monitorati tutti i 404. Ho fatto diverse migrazioni ma mai avuto problemi di perdite di traffico. Hai un robots.txt gigantesco. La sitemap l'hai inviata?

Comunque fatto questo i motivi del decadimento in serp potrebbero anche essere altri.