È sicuramente necessaria una scrittura privata, l'invio incrociato è la soluzione che permette di non dover pagare l'imposta di registro se non in caso d'uso.
Il versamento può anche essere fatto in un'unica soluzione, magari con la dicitura "regalo per ristrutturazione". So però che la donazione è soggetta all'imposta di donazione (se non sbaglio corrisponde al 3% del valore del denaro regalato), dovresti verificare se una donazione tra familiari prevede l'esenzione.