Farlo non è il problema, l'unica cosa è non farlo custom con HTML senza usare le API di WordPress.

WordPress può gestire più menù separati senza problema, sarai tu poi a creare il template per il menù A e il template per il menù B, ora che abbia senso o no non è questa la sede per parlarne, al limite puoi aprire una discussione in una delle categorie SEO qui su Connect.gt.

Non userei plugin ma piuttosto lavorerei direttamente sul tema se possibile, anche creando un tema child con le modifiche.

@webstuff stai usando un theme? quale per curiosità?

@webstuff ma, se lo usi con Elementor missa che non ti serve alcun tipo di plugin o altro, ti crei i menu come vuoi con Elementor ! almeno credo perche io non lo conosco, magari @g-lanzi ti sa dare piu notizie

@webstuff ha detto in Sito diviso in due: come fare?:

Forse la cosa più semplice è avere i due menù uno sotto l'altro, sempre visibili; ma mi chiedevo se ci fosse un modo per averne due diversi, a seconda dell'area. Esplorerò i menù condizionali.

Ammetto di non conoscere Phlox, ma mi sembra molto legato ad Elementor e quindi suppongo che sia in uso nel sito.
In questo caso, la cosa più semplice da fare è creare due header differenti, con i due menù, e settare le condizioni di visualizzazione in modo che includano solo le pagine corrette.
Le regole di visualizzazione sono molto duttili, puoi includere o escludere singoli elementi o gruppi, come per esempio post type specifici, categorie, tag, archivi, etc.